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6 ．由參數方程所確定的函數的求導法則

若函數y = y （ x ）由參數方程

所確定，且 x ＝φ（ t ）、 y ＝ψ（ t ）二階可導，φ^’（ t ）≠0，則

 

 

【例 1-2-23】  求（ sinx )⁽ⁿ⁾、( cosx )⁽ⁿ⁾。

【解】  y =sinx

一般地，可得（ sinx ) ⁽ⁿ⁾ = sin

用類似方法，可得

 

四、微分及其應用

（一）微分概念 

函數 y = f（x）勸在點 x 的微分稱為函數 y = f ( x ）的微分，記作 dy 或 df ( x)。

2 ．函數可微分的充分必要條件

函數y = f（x）在點 x₀ 可微分的充分必要條件是 f ( x ）在點 x₀ 可導，且當 f ( x ) 在點 x_o可導時，其微分一定是

函數的微分是

通常把稱為自變量的微分，記作 dx ，即

于是函數的微分可寫成

而導數可寫成

即導數等于函數的微分 dy 與自變量的微分 dx 之商。

 

（二）基本微分公式與微分法則

1 ．基本微分公式

 

 

2 ．函數和、差、積、商的微分法則

設函數 u = u ( x ）、v＝ v ( x ）均可微，則

 

（三）微分的應用

 

（四）例題

【 例 1-2 -29 】

［解］

五、中值定理與導數的應用

（一）中值定理

1 ．若函數 f ( x ）在閉區間[ a ，b]上連續，在開區間（ a , b ）內可導，且 f ( a ) = f ( b ) ，則至少有一點ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函數 f ( x ）在閉區間［ a ，b］上連續，在開區間（ a , b ）內可導，則至少有一 點ξ∈（ a， b )，使得下式成立

 

（二）求未定式的值的方法 ― 羅必塔法則

1 ．未定式0/0與   的情形

關于要0/0的情形：

設（ 1 )當 x  → a （或 x→∞）時， f （x）→0 且 f ( x ) → 0 ,

( 2 ) 在點 a 的某去心鄰域內（或當｜x｜> n 時） , f ' ( x ）及 f ' ( x ）都存在且f ' （x）0 ,

則                        

若 仍屬0/0型 ，且 f ' ( x ）、 f ' （x）滿足上述三個條件，則可繼續運用羅必塔法則，即

 

（三）函數性態的判別

1 ．函數單調性的判定

利用一階導數的符號判定，如表 1-2-1 所示。

2 ．函數極值的判定

利用一階導數判定，如表 1-2-2 所示。

利用二階導數判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲線凹、凸及其拐點的判定

利用二階導數的符號判定曲線的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

連續曲線 y = f ( x ）上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點。如果 f " （x₀）=0,而 f " ( x ）在x₀的左右兩側鄰近異號，則點（x₀， f ( x_o ) ）就是一個拐點。

4 ．曲線的漸近線

若 =y₀，則曲線 y = f ( x ）有水平漸近線 y = y₀ ;

若 =,則曲線 y ＝f ( x ) 有鉛直漸近線 x = x ₀；

 

（四）最大值最小值問題

設 f ( x ）在閉區間 [ a , b] 上連續、除個別點外處處可導且至多在有限個點處導數為零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值與最小值的一般方法：

設 f ( x ）在（ a , b ）內的駐點及不可導點為 x₁，… , x_n，則比較

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。

六、偏導數全微分

（一）偏導數與全微分

 1 ．偏導數概念

函數z = f（ x,y ）對 x、y ,的偏導數依次記作（或 f_x（ x ,y ））  ，  （或 f_y , （ x, y ） ） ，它們的定義如下：

類似地，可以定義三元函數 f （ x , y , z ）的偏導數f_x（x， y , z ）、f_y（ x , y ，z）、f_z（ x , y ，z）等.

按定義，偏導數的求法仍屬一元函數微分法的問題。

2 ．多元復合函數的求導法則

設u = （ x ，y）、 v ＝（ x ，y）均具有偏導數，而z＝f（u ， v ）具有連續偏導數，則復合函數 z ＝f [ （ x ，y），（ x ，y）］的偏導數存在，且

上面這一求導法則，簡稱為 2 ×2 法則或標準法則。從這標準法則的公式結構，可得它的特征如下：

①                       由于函數 z = f [ （ x ，y），（ x ，y）］有兩個自變量，所以法則中包含及的兩個偏導數公式。

 ② 由于函數的復合結構中有兩個中間變量，所以每一偏導數公式都是兩項之和，這兩項分別含有及。

③ 每一項的構成與一元復合函數的求導法則相類似，即“因變量對

間變量的導數再乘以中間變量對自變量的導數”。

由此可見，掌握多元復合函數的求導法則的關鍵是弄清函數的復合結構，哪些是中間變量，哪些是自變量。為直觀地顯示變量之間的復合結構，可用結構圖（或稱樹形圖） 1-2 -1 來表示出因變量 z 經過中間變量u 、 v 再通向自變量 x 、 y 的各條途徑。

按照上述標準法則的三個特征，我們可以將多元復合函數的求導法則推廣。

如，特別當有一個自變量，u ＝（x ） , v ＝（ x ） , z = f （ u , v ）時，由于函數 z = f ［（x ）， ） ，（ x ）］只有一個自變量，偏導數變成導數（這時稱為全導數）；函數復合結構中有兩個中間變量，所以全導數公式中是兩項之和；每項構成與一元復合函數求導法則類似。于是，有全導數公式

又如， u ＝（x ，y）， v ＝（y）， z = f （ u , v ） ，復合函數 z =f ［（x ，y）, （ y） ］的結構圖如圖 1-2 - 2 所示。類似地依以上分析，則有

             

3 ．隱函數求導法則

設方程 f （ x , y , z ） = 0 確定一個隱函數 z = f （ x ，y），函數 f （ x , y , z ）具有連續偏導數且f_z ≠0 ，則有

 

4 ．高階偏導數

二階及二階以上的偏導數統稱高階偏導數，如 z = f （x  ,y）的二階偏導數按求導次序不同有下列四個：

 

5 ．全微分概念

若函數 z = f （ x ，y）的全增量

其中 a 、 b 僅與x， y 有關，而，則稱函數z＝ f （ x ，y）在點 （ x ，y）可微分，并稱為函數 z = f（x, y）的全微分，記作 dz ，即

函數可微分的充分條件是函數具有連續偏導數。

習慣上，記,故

（二）多元函數連續、可（偏）導、可微分的關系

對于一元函數來說，函數可導必定連續，而可導與可微分兩者是等價的。但對于多元函數來說，可（偏）導（即存在偏導數）與連續沒有必然的聯系，可（偏）導與可微分也并不等價。多元函數可微分必定可（偏）導，但反之不真。當偏導數存在且連續時，函數必定可微分。

上述多元函數連續、可（偏）導與可微分的關系，可用圖 1-2-3 表示如下：

 

（三）偏導數的應用

1 ．空間曲線的切線與法平面

空間曲線：

在對應參數 t = t₀ 的點（ x₀ , y₀，z₀）處的切線方程為

法平面方程為

2 ．曲面的切平面與法線

曲面∑： f （x，y , z ） = 0 在其上一點 m （ x₀ , y₀ , z₀ ）處的切平面方程為

法線方程是

 

4 ．多元函數的極值

設 z = f （ x ，y）在點（ x₀ , y₀ ）具有偏導數，則它在點（ x₀, y₀ ）取得極值的必要條件是

設 z = f （ x ，y）在點（ x₀ , y₀ ）的某鄰域內具有二階連續偏導數，且

則有

（1）當 ac-b² > 0 時，具有極值f（x₀,y₀），且當 a < 0 時，f（x₀,y₀）為極大值，當 a > 0 時， f（x₀,y₀）為極小值；

（2）當 ac-b ²< 0 時，f（x₀,y₀）不是極值。

（四）例題