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第二節        運動學

點的運動方程，軌跡，速度，加速度，切向加速度和法向加速度

剛體：平動和繞定軸轉動，角速度，角加速度 ，剛體內任一點的

速度和加速度

 

運動學只研究運動的幾何性質，包括物體在空間的位置隨時間變化的規律、物體的運動軌跡、速度和加速度等。

在研究某一物體運動時，必須選擇一個參考體。如不加特別說明，地球參考系。

所謂點是指不計大小和質量的幾何點。而剛體是由無數個點組成的不變形的物體。

一、點的運動

點的運動是研究點相對于某一選定參考系的運動規律，包括點的運動方程、軌跡、速度和加速度等。

坐標；描述點的運動有矢量法、直角坐標法和自然法等。

點的運動軌跡已知時，采用自然法；點的運動軌跡未知時，采用直角坐標法。

（一）點的運動的矢量法

設動點m在空間作曲線運動，任選某固定點o為參考點(圖4—2—1)，由定點o向動點m引一矢徑r，則動點的運動方程、速度和加速度為

（二）點的運動的直角坐標法

過定點o建立一直角坐標系oxyz。設動點m在瞬時t的坐標為x、y、z，其矢徑為r(圖4—2—1)，則以直角坐標表示的動點的運動方程、速度和加速度如表4—2—1所示。

表中的運動方程實際上就是以t為參數的軌跡參數方程。如果從這些方程中消去t， 則關于平面上xy（或者yz）關系的方程即為動點的軌跡方程，即

此兩方程分別表示兩個柱形曲面，它們的交線就是動點的軌跡。（坐標間位置）

 

若點作平面曲線運動時，取其軌跡所在平面為oxy，則恒有z=0；

相應地，若點作直線運動時，取其軌跡為x軸，則恒有y=z=0。

因此表4—2—1所列公式完全適用于這兩種點的運動。

（三）點的運動的自然法

 

在動點運動的軌跡上任取一定點o’作為原點，并規定量取弧長s的正方向(圖4—2—1)，將此弧長的代數值稱為弧坐標。同時在動點m處引入自然軸系，這樣，以自然法表示的動點的運動方程、速度和加速度如表4—2—2所示。

表4—2—2中公式表明，動點的速度方向是沿著動點軌跡的切線方向。若ds／dt>0，則速度指向切線的正向；反之，速度指向切線的負向。動點的加速度a處于τ和n組成的密切面內。其中，法向加速度an表明速度方向隨時間的變化率，其方向沿著動點的主法線，且指向軌跡曲線的曲率中心。切向加速度aτ表明速度的大小隨時間的變化率，其方向沿著動點在軌跡上的切線方向。若dv／dt>0，則aτ指向τ的正向；若dv／dt<0，則指向τ的負向。

注：

1）弧長s是標量，但是有正負。一般規定運動的方向為正，相反為負。

2）自然坐標是三維的，但是描述運動的量僅在二維內。如加速度，包括了運動切向方向的加速度和法向方向的加速度。對應關系見表4-2-2.

3）由加速度的方向不能直接判斷運動是加速還是減速運動，與質點運動的初速度有關。當aτ與v同號時，動點作加速曲線運動；反之為減速曲線運動。

 

（四）勻速和勻變速曲線運動

  速度v=常量的曲線運動，稱為勻速曲線運動；切向加速度aτ=常量的曲線運動，稱為勻變速曲線運動。

  設t=0時，動點的初速度和初弧坐標分別為vo和so，則s、v、aτ、an和t等各運動量之間的關系式如表4—2—3所示。

當動點沿f軸作勻速直線運動或勻變速直線運動時，表4—2—3所示的關系式仍可適用，只需在這些式中分別用a、xo、x代替aτ、s₀、s。顯然，對直線運動而言，動點的曲率半徑ρ＝無窮大，故恒有an＝0。

可以直接對比直線的運動——勻速直線運動和勻變速直線運動——的公式記憶，不同的是位移的區分：線位移和弧位移。

（五）點的運動學問題的常見類型

1．已知點的運動方程求點的速度、加速度和軌跡等。

這類問題的關鍵是如何正確建立點的運動方程。為此，首先要選擇適當的坐標系，并把動點置于一般位置。為了避免符號上的差錯，一般將動點放在直角坐標的第一象限或弧坐標的正向。其次，根據約束的幾何條件(包括不變的繩長、機構裝配的幾何關系等)，并運用幾何學的知識建立動點的運動方程。最后，對動點的運動方程作求導運算，即可得點的速度、加速度，并利用有關公式可解得曲率半徑和其他未知量。

2．已知動點的加速度求動點的速度和運動方程等。

這類問題的基本運算方法是積分，其積分常數由運動的初始條件(即t=t0時，動點的位置和速度)確定。

為便于進行定積分運算，有時要適當地進行變量置換。即把a用適當的導數形式來表示，使微分方程僅包含兩個變量，并可分別分離在微分方程等式的兩邊，逐次積分，即可得動點的速度和運動方程。現以動點沿i軸的直線運動為例，將加速度方程的變量分離方法列于表4—2—4中。

  

由表4—2—4可知，將速度寫成=dx/dt，并代人速度方程，再積分一次就可得到相應的運動方程x=f(t)。

 

3．各種描述方法相結合的綜合問題。對于這類問題，要求能靈活而熟練地運用各種描述方法所給出的關系式。如已知直角坐標法描述的點的運動方程(包括軌跡方程)，求點沿軌跡的運動方程、切向加速度、法向加速度和曲率半徑p等。

現以點的平面曲線運動為例，圖示這一問題的求解途徑(圖4－2—2)。圖中虛、實線分別圖示了某些物理量的兩種求解方法。

在實際問題中，點的運動學問題的類型頗多，讀者應根據具體情況靈活應用上述各表所示的各種關系式進行解算。

(六)例題

（2010年真題）1.已知致電沿著半徑為40cm的圓周運動，其運動規律為：s=20t（s以cm計，t以s計），若t=1s，則點的速度與加速度的大小為：

(a)20cm/s；10√2cm/s²

(b) 20cm/s；10cm/s²

(c) 40cm/s；20cm/s²

(d)40cm/s；10cm/s²

（2010年真題）2.已知動點的運動方程為x=2t，y=t²-t，則其軌跡方程為：

(a)y= t²-t

(b) x=2t

(c)x²-2x-4y=0

(d) x²+2x+4y=0

二、剛體的基本運動

    剛體的基本運動包括剛體的平行移動(簡稱移動或平動)和定軸轉動，它主要研究剛體的運動規律和剛體的運動與其體上各點運動之間的關系。

（一）剛體的平動

在剛體運動過程中，其上任一直線始終與它原來的位置保持平行，稱這種運動為剛體的平動，如果體內各點的軌跡是直線，則稱為直線平動；如果體內各點的軌跡是曲線，則稱為曲線平動。

剛體作平動時，體內各點的軌跡形狀相同，在每一瞬時，各點具有相同的速度和加速度。因此，整個剛體的運動，完全可由體內任一點的運動來確定。

（二）剛體的定軸轉動

剛體運動時，體內(或其延展部分)有一直線始終保持不動，稱這種運動為剛體的定軸轉動。保持不動的那條直線稱為轉軸或轉動軸。表4—2—5列出了轉動剛體的運動學公式。

表中，角φ稱為剛體的轉角，單位為rad(弧度)。轉角φ和角速度ω均是一個代數量，可根據右手法則確定其正負號(圖4—2—6a)。角速度ω的大小表示了轉動的快慢，其正負號表明了剛體轉動的轉向。角速度的單位為rad/s(弧度／秒)。

 

剛體可以看做質點系，繞定軸轉動時，各質點在垂直于轉軸的平面內做半徑不同的圓周運動。可以用自然坐標系的弧長表示位移。對于圓周而言，弧長s=rφ，所以我們在此引入角量描述剛體。φ是轉角，叫角位移，dφ/dt為角速度，d²φ/dt²為角加速度。

 

工程上常用轉速n來表示轉動快慢，其單位為rpm或r／min(轉／分)。角速度與轉速的關系為

角加速度ε也是代數量，其正向與轉角φ的正向一致。代數量的正負號表示了ε的轉向。顯然，當ε與ω同號時，剛體作加速轉動；當ε與ω異號時，剛體作減速轉動。角加速度的單位為rad／s²(弧度/秒²)。

  

應當指出，角速度和角加速度可以用沿著轉軸的一個滑動矢量來表示，角速度矢ω和角加速度矢ε的指向，可根據它們代數量的正負號按右手法則確定(圖4—2—6a)。

（三）轉動剛體上各點的速度和加速度

轉動剛體與其體上任一點m的運動學關系如表4—2—6所示。

表中，α為加速度矢a與轉動半徑om之間的夾角(圖4—2—6b)。由表中各式可知，在每一瞬時，轉動剛體內任一點的速度和加速度的大小都與轉動半徑r成正比，且各點的加速度與轉動半徑成相同的夾角。

 

（四）剛體基本運動的問題類型

1．研究平動剛體的運動規律。

因平動剛體的運動學問題可歸結為點的運動學問題來研究，故一般取傳遞運動的接觸點或連接點作為分析對象。應當注意，剛體作曲線平動時，各點有各自的曲率中心和自然軸系，這一點在圖示平動剛體各點的運動元素時，要多加注意。

2．研究轉動剛體及其體上一點的運動規律。

(1)求ω和ε或轉動剛體上某一點的v和a。

這類問題，若已知轉動方程，則可通過求導得到相應的ω和ε，從而求出剛體上某點的v和a；或已知轉動剛體上某點的運動方程，用上述類似方法可求得體上其他點的v和a及剛體的ω和ε。

(2)求轉動方程或剛體上一點的運動方程。

這類問題一般可通過對已知的ε方程或體上一點的a方程，進行積分運算得以解決。但尚須已知運動的初始條件，即t=0時，轉角φ。和角速度ω。或弧坐標s。和初速度v。

歷年題：

（2010年真題）直角剛桿oab在圖示瞬時角速度w =2rad/s，角加速度ε=5rad/s²，若oa=40cm，ab=30cm，則b點速度的大小、法向加速度的大小和切向加速度的大小為：

(a )100cm/s；200cm/s²；250cm/s²；

(b )80cm/s；160cm/s²；200cm/s²；

(c)60cm/s；120cm/s²；150cm/s²；

(d)100cm/s；200cm/s²；200cm/s²；

選（a）

考核：剛體定軸轉動時剛體上任一點的速度和加速度（切向加速度和法向加速度）