第三節        動力學

動力學研究力和運動間的關系。

知識點：

1. 動力學基本定律：牛頓定律

2. 動力學普遍定理；

動量；質心；動量定理及質心運動定理；動量及質心運動守恒；動量矩；動量矩定理；動量矩守恒；功；動能；勢能；動能定理及機械能守恒；

3. 剛體定軸轉動微分方程；轉動慣量；回轉半徑；平行軸定理；

4. 剛體作平動和繞定軸轉動（轉軸垂直于剛體的對稱面）時慣性力系的簡化；

5. 達朗伯原理與動靜法（動力學問題等效用靜力學的方法處理）

6. 質點的直線振動：

自由振動微分方程；固有頻率；周期；振幅；衰減振動；阻尼對自由振動振幅的影響——振幅衰減曲線；受迫振動；受迫振動頻率；幅頻特性（共振）

一、動力學基本定律和質點運動微分方程

（一）動力學基本定律(牛頓三大定律)

1．第一定律——慣性定律

慣性定律的內涵揭示了以下四點：

1）慣性：物體不受力的作用，則將保持靜止或勻速直線運動狀態。物體屬性。同時規定了參考系——慣性參考系。

2）慣性量度：質量。質量越大，慣性越大。

3）質量的測定：質量與狀態沒有任何關系。所以可以通過某地的重力及加速度求得：m=g/g

4）力：力是物體間的相互作用。（有力，物體狀態改變，就有加速度。）

2．第二定律——力與加速度的關系定律

質點受一力f作用時所獲得的加速度a的大小與力f的大小成正比，而與質點的質量成反比；加速度的方向與作用力方向相同，即

ma=f      (4-3-1)

如果質點同時受幾個力的作用，則上式中的f應理解為這些力的合力,而a應理解為這些力共同作用下的質點的加速度，這樣式(4—3—1)可寫為

ma=σfi         (4-3-2)

1）對質點適合

2) 合力與加速度瞬時對應，（先有力后有加速度）加速度隨著合力的變化而變化（大小和方向）

式(4—3—1)或式4—3—2)稱為質點動力學基本方程。

 

上述描述的是一個質點的情況，第三描述兩個質點之間的相互作用。

 

3．第三定律——作用與反作用定律

兩質點相互作用的力總是大小相等，方向相反，沿同一直線，并分別作用在兩質點上。

作用力和反作用力同存亡。（一個消失，另一個消失；一個出現，另一個也出現）

（二）運動微分方程

根據質點動力學基本方程ma=f,可推導出的運動微分方程

其中a是運動學量，所以對a進行變化,可以得到v，r，得到運動微分方程。

1）.矢量形式

2）.直角坐標形式

3）.自然軸形式

要合理利用牛頓運動：：：：

必須注意:

l         這些方程只適用于慣性坐標系（牛一規定的），物體運動速度遠小于光速。其中各項加速度必須是絕對加速度（慣性參考系，如地球）；采用自然軸投影形式的運動微分方程必須已知運動軌跡。

l         直角坐標投影形式和自然軸投影形式的運動微分方程是兩種常用的投影形式。根據問題的需要，還可以有其他投影形式的運動微分方程。

l         質點的運動微分方程可用來解決質點動力學二類基本問題。

(1)已知質點的運動，求作用在質點上的力。

(2)已知作用于質點上的力，求質點的運動。

兩種問題的解決化為關于求導問題和積分問題的運算。

 

可能有人會說，近代相對論力學先進，為什么還學習這些經典力學？

由于一般工程問題中，大多問題都屬于上述的適用范圍，因此以基本定律為基礎的古典力學在近代工程技術中仍占有很重要的地位。日常生活中的現象都遵循牛頓運動定律。

（三）例題

[例4—3—1］ 圖4—3—1所示半徑為r的偏心輪繞o軸以勻角速度轉動，推動導板ab沿鉛垂軌道運動。已知偏心距oc＝e，開始時oc沿水平線。若在導板頂部放有一質量為m的物塊m，求：(1)物塊對導板的最大反力及此時偏心c的位置；(2)使物塊不離開導板的ω的最大值。

直線運動；動力學微分方程；第一類問題

    一看本體屬于第一類問題：已知運動求受力，會用到導數計算。

[解]  本題根據題意可列出物塊的運動方程，運用導數的運算可求物塊的加速度。于是應用質點的運動微分方程，可求出導板對物塊的反力。

 

屬于第一類問題。

       (1)對象：取物塊m為研究對象。

      (2)受力分析：選任一瞬時t進行分析，作用于物塊上的力有重力p和導板對物塊的作用力n，受力圖如圖4—3—1(b)所示。

(3)運動分析：物塊沿鉛垂線運動。

      (4)選坐標：由于物塊沿鉛垂線運動，將坐標原點取在固定點o上，并取x軸鉛垂向上為正。

      (5)建立運動微分方程并解。

應用直角坐標形式微分方程：得

物塊放在導板上，導板作平動，故物塊的加速度即等于導板的加速度。根據題意可列出導板上d的運動方程為

對該式求二次導，得到物塊的加速度

將式(3)代入式(1)，得

可以看到n隨著t變化，sinwt

由式(4)可見，當sinωt=-1時，即c點在最低位置，n達到最大值

當sinωt=1時，即c點在最高位置，n達到最小值

欲使物塊不離開導板，（離開的臨界條件是n=0）則nmin≥0，即

故物塊不離開導板ω的最大值為。

本題考點：1）第一類問題的解法。2）直線運動

[例4—3－2]  圖4—3—2(a)所示橋式起重機上的小車，吊著重為p=100kn的物體沿水平橋架以速度v₀=lm／s作勻速直線移動。重物的重心到懸掛點的距離為l=5m。當小車突然停車時，重物因慣性而繼續運動，此后則繞懸掛點擺動。試求鋼絲繩的最大拉力。

其中運動：圓周運動（曲線運動），動力學方程，第二類問題

      [解]  1）取重物為研究對象，并將重物視為質點。

2）確定受力和運動的情況。確定停車前的狀態，明確了停車后的初態。

小車停車前：物體勻速直線運動；停車后：以一定初速度做圓周運動。

設小車突然停車后的任意瞬時t，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ (鉛垂軸x的正向逆時針轉向量取為正)。作用在重物上的力有：重力p和鋼絲繩的拉力t，受力圖如圖4-3—2b所示。

3）選擇運動坐標和列動力學微分方程：軌跡清楚，選擇自然坐標系。取自然軸系的τ、n軸的正向如圖示(τ軸指向φ增加的一方，沿運動方向)。由式(4—3—5)可得

τ向：（涉及速度，列如下動力學方程）

   （ma=f_τ）

n向：

顯然，（v, φ，t三個未知數。）如能求出（1）中的v(這是第二類問題)，則代人式(2)即可求得t。

（1）       中v，φ都是未知量，能直接找到兩者關系最好

由運動學知dφ/dt=w=v/l,代人(1)可得：（微分變換的應用）

 

或

將初始條件帶入積分，得到v。

初始條件：在初瞬時(即小車突然停車的瞬時)，重物的速度為v。，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為零，即t=0時，v=v₀,φ=0；（我們用微分方程時，取任意時刻）

而在任一瞬時t時，重物的速度為v，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ。作定積分得

式(3)就是重物的速度變化規律。當φ增大。v隨之減小，當φ=0時，v=v₀，v值為最大。

由式(2)得

因為當φ=0時，v具有最大值v。，cosφ=1也為最大值，故此時t具有最大值

將，

代入式(5)，可得

 

練習題：1. 已知物體初始位置如圖，剪斷其中一根繩子，剪斷繩子瞬間，細繩的拉力是（）

abcd

通過以上兩個典型例題，對直線運動，曲線運動，運用動力學方程，求解了兩類問題。

 

（四）解題注意事項

1，質點動力學基本方程只適用于慣性坐標系，各項加速度必須為絕對加速度。（排除了相對加速度）

2．有限個質點組成的質點系用動力學基本方程求解時，必須對每一個質點建立方程。

3．建立質點運動微分方程時，應將質點置于一般位置分析受力與運動，且此位置處于坐標系的第一象限為妥。同時必須注意力和加速度在坐標軸上的投影的正負號。

 

研究質點運動微分方程之后，將繼續學習動力學普遍定理，它包括動量定理(含質心運動定理)、動量矩定理和動能定理。這些定理都是從動力學基本方程推導得來的。它們建立了一些表明運動的度量(動量、動量矩和動能)與表明力的作用效果的量(如沖量、力矩和功)之間的關系。應用這些定理解一些動力學問題是比較方便的。（基礎——衍生的定理；解題難易：復雜——簡單），解題時能用普遍定理，就不用動力學基本定理

 

從數學上看，這些定理只是在一定條件下運動微分方程另一種形式或它們的積分，但經過數學變換而出現在各定理中的量(動量、動量矩、動能、沖量、功等)都有明確的物理意義，各相關量之間也有簡單而確定的關系，這不僅使我們對機械運動的了解更深入，而且能更有效地進行研究。下面依次研究這些定理，重點是質點系有關定理。