二、動量定理

動量定理是在動力學基本方程基礎上推到出來的。

動量定理建立了（研究對象）質點或質點系動量的改變與作用在其上的力的沖量之間的關系，由此還可以得動量守恒定律及質心運動定理。

（一）基本概念

質心，動量，沖量

1．質心：（引入質心，可以將（多個物體組成）質點系當做質點分析處理問題, 這符合學習的循序漸進，由已知到未知）

對質量m＝∑mi質點系，若其任一質點對某一固定點的矢徑為ri，則由矢徑

所確定的一點c稱為此質點系的質量中心，簡稱質心。

1) 在直角坐標系中，質心位置矢量各分量的表達式為：

，，

2) 對于連續分布的物體，質心的計算公式為：（微元的積分）

分量形式為（xyz軸上的積分形式）

，，

2．動量：是物體某瞬時機械運動的一種度量。以k表示。狀態量，矢量（方向性）

(1)質點的動量：質點的質量m與其速度v的乘積，其表達式為

k=mv（與速度方向相同，瞬時量）

(2)質點系的動量：各質點動量的矢量和，其方向與質心的速度v_c的方向相同，其表達式為

式中 m_i——質點系中第i個質點的質量；

m＝∑m_i——質點系的質量；

v_i——質點系中第i個質點的速度；

v_c——質點系質心c的速度。

3．沖量：是力在某一段時間間隔內作用效應的度量。以s表示。（過程量，矢量）

(1)常力的沖量：s=ft;（與力的方向相同）

（我們常會遇到） (2)變力的沖量：。（很小時間內，將力看做是恒力）

（二）動量定理、質心運動定理

動量定理與質心運動定理的表達式如下表所示.

動量定理的微分形式——動力學方程的微分形式（本質，宏觀低速物體m恒定）

微分形式：動量對時間的一階倒數是物體受到的合外力（質點系間的內力不起作用）；

積分形式：質點在一段時間（t₁到t₂）動量的改變等于作用在質點的合力在這段時間內的沖量

（這里將狀態量動量和過程量ft聯系在一起：（計算中可以靈活應用轉換思想）過程ft清楚，可以求出過程變化前后兩個狀態的動量的差；若前后狀態清楚或者容易獲得，可以求出變力參與的過程量ft，常來解決碰撞問題）

表4—3—1的式中，為作用在質點系上的所有外力的矢量和，即外力系的主矢；

為此外力系在時間(t₂—t₁)內的沖量的矢量和；

k₂和k₁分別為t₁ ，t₂時刻的動量；

a_c和v_c分別為質心的加速度和速度；

腳標x、y、z和τ、n、b分別表示相應物理量在直角坐標軸和自然軸上的投影。

對于多個質點組成的質點系的運動，我們可以通過觀察質心的運動把握物體的整體運動（水平上拋三角板；運動員跳水），所以利用動力學基本方程不難求出質心運動定律，

質心運動定律：研究對象是多個質點組成的物體。質心的運動代表了整個物體的運動情況。即對質心應用牛頓第二定律，可以寫出質心動力學定律和質心的運動微分方程，可以解決兩類動力學問題。

可以看出：

質心運動守恒定律：（即質心不受力或者受力為零）質點系不受外力作用（或者合外力等于零），保持靜止或者勻速直線運動。它的矢量形式和直角坐標系中的分量見表4-3-1.

（三）例題

[例4—3—3] 滑塊c的質量m=19．6kg，在力p=866n的作用下沿傾角為β=30°的導桿ab運動。已知力p與導桿ab之間的夾角α=45°，滑塊與導桿間的動摩擦系數f’=0．2，初瞬時滑塊處于靜止。試求滑塊的速度增大到v=2m／s所需的時間。

[解]

由題可以看出，已經物塊受力，和部分運動學量v等，求運動時間。對于這樣涉及到時間的動力學問題，我們優先考慮動量定理。而不考慮動力學基本定律。

(1)選研究對象取滑塊c為研究對象。

(2)受力分析滑塊c上受重力mg、導桿對滑塊c的法向反力nc、摩擦力f及拉力p等四個力的作用。

(3)運動分析滑塊c只能沿導桿ab作直線運動。選取直角坐標bxy如圖4—3—10所示。

(4)應用動量定理的直角坐標形式，設經歷t時間，則有

即：

動量是矢量，注意方向在坐標軸上投影的正負。

由式（2），得

從而，（再由摩擦定律可以求出）動摩擦力

代入式(1)，求得滑塊的速度從零增到v=2m／s所需的時間

[例4—3—4] （下面是關于質點系的動力學問題）

曲柄oa質量為m₁，長為r，以勻角速度ω繞o軸轉動，并帶動滑槽連桿以及與連桿固結的活塞b作往復運動。滑槽連桿和活塞的總質量為m₂，作用于活塞上的已知力為q，如果不計摩擦，求作用于曲柄軸o上的最大水平反力。

【解】多個物體的組合，用質心動力學方程求解

力與質心加速度相關，對質心加速度的求解可以通過以下兩種方法

1）已經知道各質點的加速度，直接應用質心公式；2）質心位移的二階倒數

該系統包括兩個物體，曲柄oa和滑槽連桿及固結在一起的活塞b，只考慮水平方向的運動。先寫出質點系的質心在x方向的坐標公式，再應用質心運動定理求解。

(1)對象取曲柄oa、滑槽及活塞b所組成的系統為研究對象。（質點系，對該質點系進行受力分析。）

(2)受力分析作用于系統的水平方向上外力有曲柄軸o處的水平反力x₀及作用于活塞上的水平力q。

(3)運動分析由于組成質點系的物體為剛體，而且各部分運動顯為已知，因此用質心運動定理比較方便。取坐標系oxy如圖4—3—11所示，設任意t瞬時，曲柄處于x軸正向，則在水平方向系統的質心坐標為

(4)應用質心運動定理求解

質心求出來，對他求二次導數，得到質心運動的加速度，求出受力。

由質心運動定理可得

則有

將式(1)對時間求兩階導數，并代入式(2)得，

當ωt=π時，x₀達到最大值，為

[例4-3-5] 小車a重q，下懸一擺如圖4—3—12所示。擺按規律φ=φ₀sinkt擺動，設擺錘b重為p，擺長為j，擺桿重量及各處摩擦均忽略不計。若運動開始時系統的質心速度等于零，試求小車的運動方程。

[解] 1. 研究對象：以小車和擺錘所組成的質點系為研究對象。（擺桿重量及各處摩擦均忽略不計，他們水平方向不受外力作用），所以系統水平方向質心運動守恒。

2. 受力分析：作用于該質點系上的外力有重力p、q和軌道的鉛垂反力n。選取坐標oxy如圖所示，y軸通過系統的質心c。

3. 分析運動，選擇坐標，列動力學方程。

由于作用于該質點系上的所有外力在x方向上的投影的代數和等于零，因此質點系的質心的運動沿c方向守恒，即v_cx=常量。又因系統原來是靜止的，所以v_cx=dx_c/dt=0,xc=常量，那么發生運動后仍然是靜止的。因此質點系的質心的水平位置應保持不變，由于y軸通過質心，故x_c=0。當擺錘至任意位置時，質點系質心坐標為

既

由圖示坐標關系得

將式(3)代入式(2)得

式(4)即為小車的運動方程。

以上三個例題分別對知識點動量定理，質心運動定理和質心運動守恒的應用進行了詳解。大家可以針對性的看看，達到鞏固知識的目的。

（四）解題注意事項：

1．由于動量定理與質心運動定理均由牛頓定律導得，故定理中的運動量(速度、加速度等)必須是相對慣性參考系的。

2．受力圖中只需畫出外力，不圖示內力，并根據系統所受的外力來判別系統的動量或質心的運動是否守恒。（質點系的內力遠大于外力：碰撞，爆炸時，可以用質點系的動量守恒定律）

3．計算多剛體系統的動量時，可用關系式

式中 v_c為系統質心的速度；vi_c為i剛體的質心速度。具體計算用它的投影式。

4．應用質心運動定理時，可用關系式

求解系統質心的加速度，也可以將質心矢徑求兩階導數得到。一般，當多剛體系統的各質心加速度容易求得時用前者較方便。

例：剎車時，制動的原因是什么：

（a）制動閘和輪子間有摩擦力的原因；

（b）地面對輪子摩擦力的作用；

（c）制動閘和輪子間的摩擦力和地面對輪子摩擦力共同作用的結果；

（d）不確定

三、動量矩定理

矩，與轉動有關。質點或質點系動量矩定理建立了質點或質點系的動量矩的變化與作用于其上的外力系主矩之間的關系，可用以解決動力學兩類問題。

（一）動量矩的概念

動量矩是某瞬時，質點或質點系繞某點或某軸轉動時機械運動強弱的一種度量。其數學表達式分述如下。

1.質點對固定點o的動量矩

（類比力矩的定義m_o(f)=r×f）

式中 r為質點對定點o的矢徑。動量矩矢量是定位矢量，應畫在o點。其單位是kg·㎡／s或n·m·s。

適用于慣性參考系。

2．質點系對固定點o的動量矩

3. 質點系對過定點o的正交坐標系各軸的動量矩

4，定軸轉動的剛體對轉軸c的動量矩（剛體：質點系，每個質點對定軸的動量矩之和，化簡為下式）

，轉動慣量和角速度的乘積

對比質點的動力學方程：f=ma

（二）轉動慣量及其平行軸定理

1．轉動慣量

剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量。（質量是質點慣性的量度，轉動慣量是質點系轉動時慣性的量度）其表達式如表4-3-2所列。

并與剛體的質量及質量分布有關。其單位是kg·㎡。

回轉半徑（等效半徑，質心——質點系；回轉半徑，剛體轉動的質心。盡管在此說法不嚴格）并不是剛體上某個實際尺寸，而是設想剛體的質量集中在與z軸相距為ρz的點上，此集中質量對z軸的轉動慣量與剛體對z軸的轉動慣量相等。

2.轉動慣量的平行軸定理

式中，z軸通過質心c且與z’軸平行，m是剛體的質量，d為z’與z軸之間的距離。

（三）動量矩定理

質點系動量矩定理的表達式隨矩心不同而有所改變，具體列于表4-3-3。

表4-3-3中h_cr是在相對隨質心平動坐標系的運動中，質點系對質心的動量矩；∑mc是作用在質點系上所有外力對質心的主矩。

動量矩和力矩的矢量形式關系與動量和力的關系等同，僅是對象剛體和質點。大家可以對比記憶。

（四）剛體平面運動微分方程

式中 jc是剛體對通過質心且與運動平面垂直的軸的轉動慣量。

（五）例題

[例4-3-6] 一軟繩跨在滑輪上，其兩端一為重w的人，一為與人等重的物體。開始時，人與物體均靜止不動。令人沿著繩子向上，問人能否上升?物體將上升還足下降?設滑輪與繩子的質量以及軸承中的摩擦力均可略去不計。

[解]

1．對象：選整個系統為研究對象。

2．受力分析：作用于此系統上的外力有軸承反力、重力w，顯然這些力對軸o的矩之和始終為零。

即

故系統對z軸的動量矩保持守恒。

3．運動分析并計算動量矩

運動開始時系統中所有物體處于靜止，系統的動量矩為

h_zl=0

令人沿著繩子向上，因此，必然要引起重物上升，才能保持系統對o軸動量矩為零。設某一瞬時，人相對于繩子的速度為vr，而重物上升的速度為v。注意到重物上升的速度就是繩子中下運動的速度。

動量矩是相對于慣性參考系，所以速度都是絕對速度。

因此，人的絕對速度va=vr-v0。設滑輪的半徑為r，則此時系統的動量矩為

4．應用動量矩定理求解

由于系統對c軸動量矩守恒，故有

即

解得

同時得到

由此可見，人與重物以相同的速度上升；并且看到，在任何瞬時，重物上升的速度總是等于人相對于繩子的速度的一半。

[例4—3—7] 一飛輪由直流電機帶動，已知電機產生的轉矩m與其角速度的關系為：m=m1(1－ω/ω1)。式中，ml表示電機的起動轉矩，w1叫表示電機無負載時空轉角速度，且m1與ω1都是已知量。設飛輪對o軸的轉動慣量為j₀，作用在飛輪上的阻力矩mf為常量，如圖4—3—21所示。當m>m_f時，飛輪開始起動，求角速度o隨時間t的變化規律。