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第二節　流體動力學基礎

先看一下本節考試大綱要求：以流場為對象描述流動的概念，流體運動的總流分析，恒定總流連續方程、能量方程和動量方程的應用。

本節將分析流體運動的基本規律及其在實際工程中的初步應用。由于工程中許多流動問題都以總流為對象，所以本節將主要討論總流運動的三個基本方程 ― 連續性方程、能量方程和動量方程。

一、描述流體運動的方法

描述流體運動的方法有兩種，即拉格朗日法與歐拉法。

拉格朗日法是以個別質點為對象，研究這些質點的各個運動參數隨時間的變化情況，再將它們匯總起來以描述流體的整個流動。但是這樣研究難度較大而且一般工程問題中只要求知道若干控制斷面上運動參數的變化即可，并不需要了解個別質點的運動情況。因此我們通常采用較簡便的歐拉法來描述流體的運動。

歐拉法是以流場為對象，研究流場中給定空間點上不同質點的運動參數隨時間的變化情況，匯總起來就構成了整個流動。按歐拉法，各運動參數如速度 u 、壓強 p 等都是空間坐標（x， y ，z）和時間 t 的函數。即

式中坐標x、 y 、 z 和時間變量稱為歐拉變數。

二、流體運動（流場）的基本概念

（一）恒定流和非恒定流

 根據流體運動參數是否隨時間變化將流體運動分為恒定流和非恒定流。若所有的運動要素（流速、壓強等）均不隨時間而改變稱為恒定流。反之，則為非恒定流。

在本章中，我們只討論恒定流 .

 

（二）流線和跡線

流線是在流場中畫出的這樣一條曲線：同一瞬時，線上各流體質點的速度矢量都與該曲線相切，這條曲線就稱為該瞬時的一條流線。由它確定該瞬時不同流體質點的流速方向。其繪制方法如下：

從空間某點 m 開始，沿 t_l 時刻 m 點流速 um 方向取一相鄰的點 n ，再沿同一時刻 t_l 點 n 的流速u_n 方向取相鄰的點p……，依此類推，當各相鄰點的間距無限縮小時，折線mnpq趨近為一條光滑曲線，這就是瞬時 t_l 通過 m 點的流線。見圖 6-3-1 。如果繪出同一瞬時各空間點的一組流線，就可以描繪出整個流場在該瞬時的流動圖像。

流線的特征是：在同一瞬時的不同流線一般情況下不能相交．流線也不能轉折，只能是光滑的曲線.

跡線是某一流體質點在一段時間內運動的軌跡，跡線上各點的切線表示同一質點在不同時刻的速度方向

流線是針對某一時刻，而跡線是針對某一質點。

在恒定流中，流線、跡線兩者重和，在非恒定流中，兩者相異。

（三）流管、元流、總流和過流斷面

在流場中任取一微小封閉曲線，通過曲線上的每一點均可作出一根流線，這些流線形成一管狀封閉曲面（圖 6-3-2 ）稱流管。由于速度與流線相切，所以穿過流管側表面的流體流動是不可能的。這就是說位于流管中的流體有如被剛性的薄壁所限制。微小流管中的液（氣）流就是元流，元流的極限是一條流線。總流是無限多元流的總和。因此，在分析總流前，先分析元流流動，再將元流積分就可推廣到總流.

與元流或總流的流線相垂直的截面稱過流斷面，用符號 a 表示其斷面面積。在流線平行時，過流斷面為平面，流線不平行則過流斷面為曲面.

 

 

（四）流量和斷面平均流速

單位時間內流過某一過流斷面流體的體積稱流量，用符號 q 表示，單位 m ³ / s 。此外流量還可以用重量流量和質量流量來表示，單位分別為kn / s , kg / s 。重量流量 g =ρgq ，質量流量 m = ρq，水管常用體積流量，氣體管道多用重量流量或質量流量.

設元流過流斷面 da ，斷面上流體質點的流速 u ，可得元流的流量 dq =  uda 。通過總流過流斷面 a 的流量應等于無數元流的流量總和，

（五）均勻流、非均勻流和漸變流

根據位于同一流線上各質點的流速矢量是否沿程變化，可將流體流動分為均勻流和非均勻流。流線為平行直線的流動稱為均勻流。如等直徑長管中的水流，其任一點的流速的大小和方向沿流線不變。反之，流線不相平行或不是直線的流動稱為非均勻流。即任一點流速的大小或方向沿流線有變化。在非均勻流中，當流線接近于平行直線，即各流線的曲率很小，而且流線間的夾角也很小的流動稱為漸變流。否則，就稱為急變流。漸變流和急變流沒有明確的界限，往往由工程需要的精度來決定。漸變流的極限清況就是均勻流。

 

 

三、恒定總流的連續性方程

（一）元流的連續性方程從總流中任取一段，其進口的過流斷面為 1－ 1 , 面積為 a ₁ , 出口過流斷面為 2 － 2 , 面積為 a₂ ，（圖 6-3-4 ）。

   

再從該總流中任取一個元流，其進口過流斷面為 da₁ ，流速為 u_l ；出口過流斷面為 da₂ ，流速為u₂ .

對于不可壓縮流體，密度是一常數，因此 dt 時間內經 da₁ 流進的流體質量為ρdq₁dt 經 da₂ 流出的流體質量為ρdq₂d t .

在恒定流條件下，元流的形狀不隨時間而改變，流體作為連續介質，在元流內部不可能出現空隙，流體質點也不可能穿過流管流進或流出，因此根據質量守恒原理，經 da₁ 流進的流體質量應等于經 da₂ 流出的流體質量，即

以上是元流的連續性方程，它們說明了元流的流速與過流斷面面積成反比。由此可知，流線密的地方因過流斷面面積小而流速大，流線疏的地方因過流斷面面積大而流速小。

 

（二）總流的連續性方程

總流是無數個元流的總和。將元流的連續性方程各項在總流的過流斷面上積分即可得到總流的連續性方程。

根據前述斷面平均流速的概念：

式（ 6-3-3 ）或式（ 6-3-5 ）稱為總流的連續性方程。

上述總流的連續性方程是在流量沿程不變的條件下得出的。若沿程有流量流進或流出，總流的連續性方程仍適用，只是形式有所不同。對于圖（ 6-3-5 ）的情況有：

四、恒定總流能量方程

（一）元流能量方程

在流場中選取一元流，如圖6-3-6 所示。在元流上取斷面 1 一 1 和斷面 2 一 2 ，兩斷面的高程和面積分別為 z₁ 、z₂和 da₁ 、 da₂ 。兩斷面的流速和壓強分別為u₁、u₂和 p_l 、 p₂ 。以兩斷面間的元流段為研究對象，在 dt時間內由原來的 1122 位置移動到位置，斷面 1 一 1 和斷面 2 一 2 分別移動了 u₁dt 和u₂ dt 的距離.

根據功能原理：外力（不包括重力）對物體所作的功等于物體機械能（位能和動能）的變化。其各項具體分析如下：在移動過程中斷面 1 一 1 所受壓力 p_lda₁ ，作正功 p₁da₁u₁ dt，斷面 2 一 2 所受壓力p₂ da₂與流動方向相反，所作的功是負的，等于一p₂da₂u₂dt.元流側面所受的壓力和元流流向垂直，在流動過程中沒有作功。而沿元流側表面還有和流體方向相反的內摩擦阻力作了負功一 dh_w ，因此外力（不包括重力）作功為：

經過 dt 時間后從位置 1 122 變化到 位置，在恒定流的條件下22 這段流體的能量沒有發生變化，所以 dt 時間內流體能量的變化，也就是新位置 2 一的能量和原位置 1 一的能量之差值。

由于流體不可壓縮、新舊時刻流體位置變化1 一、2 一所占據的體積等于 dqdt，質量等于ρdqdt 。據物理學中的公式，動能mu²，位能 mgz ，所以動能增值為

位能的增值為

   

按功能原理（ 1 )= ( 2 ) + ( 3 ) ，可得：

   

等式各項除以ρgdqdt ，并設整理后得：

   

式（ 6-3-6 ）就是不可壓縮流體元流能量方程。它反映了恒定流中沿流各點位置高度 z ，壓強 p 和流速u之間的變化規律.

 

（二）漸變流斷面上的壓強分布

為將元流的能量方程推廣到總流，需利用漸變流的特點。前面流體運動的分類已提漸變流中各流線的曲率很小，而且流線間的夾角也很小。也就是說，漸變流中任一點的流速的大小和方向沿流線的變化很小。因此，可以不考慮慣性力，同一過流斷面上各點間的壓差由重力引起，斷面上壓強分布與靜壓強分布規律相同 ——― 直線分布即

式中下標 a 、 b 表示同一斷面上的不同位置的點，如圖 6-3-7 所示。

 

（三）總流的能量方程

將元流能量方程式（ 6-3-6 ）各項乘以ρgdq ，得單位時間通過元流兩過流斷面的流體（總重量）的能量關系（式（ 6-3-6 ）表示的是單位重量流體的能量關系）.

注意到 dq = u₁da₁= u₂ da₂, 將上式在總流過流斷面上積分，得到通過總流兩過流斷面的流體總能量之間的關系：

設兩過流斷面位于漸變流，z＋= 常量

用斷面平均流速代替點流速來計算單位時間通過總流過流斷面的動能，考慮到斷面上流速分布的不均勻性乘以動能修正系數a。因為速度立方的平均值大于其平均值的立方，故 a 恒大于 1 。斷面流速分布愈不均勻，a愈大，例圓管層流 a = 2.0，紊流 a = 1 .05 一 1.1 ，通常計算可取 a = 1.0。

至于損失項，自1斷面至 2 斷面總流的各元流是不同的，為了簡化暫以 h_w 代表平均值（h_w 的分析和計算將在下一節中討論），即自 1 斷面至 2 斷面總流的各元流的單位重量流體的能量損失均為 h_w ，則

將以上各式代入式（ 6-3-7 ) ，并除以 ρgq 得

 

 

總水頭 h 總是沿流減小的，即恒為負值，而水力坡度總是取正值，所以上式右端加一負號。

測壓管水頭沿流的變化由測壓管水頭線表示。單位長度流程上的測壓管水頭線降落 j_p 稱測壓管水頭線坡度：

因為測壓管水頭即為單位重量流體所具有的勢能，而勢能和動能是可以互相轉化的，所以測壓管水頭線坡度可正可負，也可為零，在均勻流中，流速沿流程不變，即動能不變，這時測壓管水頭線與總水頭線平行，表明由于損失使勢能減小，損失多少，勢能就減小多少。

在能量方程的推導中，作了流體是不可壓縮的，流動是恒定的，流體只受重力這一質量力的作用等假定，并且在從元流到總流能量方程積分的過程中引用了所取的斷面必須為漸變流動斷面的條件，還要在兩斷面間沒有能量和流量輸人或輸出的情況下，所以應用時必須遵循上述假定和條件。但對于有能量或流量輸人（出）的清況，將能量方程稍作改變后仍可推廣使用。

1 在同一流動中，另有機械能輸入（如泵或風機）或輸出（如水輪機），此時能量方程形式為

式中，＋h₀輸人的單位能量；一h₀輸出的單位能量。

2 對有流量輸出的分岔流（圖 6-3-9 )

圖6-3-9

流體從總管分送到兩個支管即分成兩股流體。圖中 abc 為兩股流體的分界面。這兩股流體均有一定的大小，對每一股流體均可應用總流的能量方程。當斷面 1 － l 、 2 － 2 、 3 － 3 處于漸變流時，就可以分別列斷面 1 － l 和2 － 2 的能量方程及斷面 l － 1 和 3 － 3 的能量方程。由于兩股流體的流動情況不同，兩者的水頭損失不同，即h_{w1  2}≠ h_{w1  3} ，具體可寫成：

五、能量方程的應用

（一）應用步驟和注意事項

l 首先分析流動情況，確定我們討論的是哪一段總流。再選基準面0－0，以使位置高度 z 的計算方便為宜。

2 選斷面 1 － 1 , 2 － 2 。斷面的選擇應使方程中已知項盡可能多，如選擇自由液面或管道流人大氣的出口斷面，這時 p = 0。所選斷面必須是漸變流斷面（曾經出過考題）（兩斷面之間可以是急變流）。

3 選計算點，可選斷面上任意一點以確定 z 及 p 值.一般對管流，計算點往往選在管軸與斷面相交的一點；對于明渠流，計算點往往選在自由液面與斷面相交處，此時 p = 0 。

4 列能量方程，根據已知各項數值求解未知數。在計算壓強時，一般方程兩邊都以大氣壓強為零即取相對壓強計算。如果方程兩邊都按絕對壓強計算p也是可以的。

 

（二）應用舉例

【 例6-3-1】 文丘里流量計

文丘里流量計是用來測量管道流量的，由收縮段、喉管和擴大段三部分組成。它的形狀如圖 6-3-10 所示。使用時，將它連接在管道中，在流量計上游進口斷面 1 － 1 和在收縮管中的漸變流斷面 2 一 2 處各接測壓管（見管上方所示）。設已知管中為水流，管徑 d_l 、 d₂ 及測壓管水頭差均已知，求流量 q.

【 解 】 任選一基準面 o－ o ，寫出斷面 l － 1 和 2 － 2 的能量方程 〔 不計水頭損失） :

取 a₁ = a ₂ = l.0并將上式整理而得:

是一個只和d_l . d₂及重力加速度g有關的固定常數. 式( 6 -3-14 ）中沒有計及水頭損失。實際流體中存在水頭損失，因而實際通過的流量必小于理論流量．為修正這一誤差，可用文丘里流量系數μ值加以修正根據實驗，它的值在 0.95～ 0. 98 之間，則

   

對于不同直徑的文丘里流量計， k 可以根據管徑 d₁ , d₂ 預先算得。量測時只需讀出△h 就可計算流量。

如果 1 一 1 , 2 一 2 斷面與水銀壓差計相連，如圖 6-3-10 中管道下方所示（文丘里管中通過的是水），測得壓差計液面高差為△，根據例 6-2-3 得到

試求斷面 2 的壓強.

【解】水流由 1 － 1 （水箱表面）流至虹吸管口然后在管道內經 2 － 2 斷面到 3 － 3 斷面流至大氣中，虹吸管管徑不變， d₂ = d₃ = 200mm . l － 1 斷面為水箱自由表面，其面積遠大于管道斷面，故 1 － 1 斷面流速非常小v₁ ≈ 0 。為了求出管中流速，可先取 1 － l 和 3 － 3 斷面寫能量方程，此時基準面可取為過 3 － 3 的水平面，取 a₂ = a₃ = 1.0 :

由上可知，虹吸管頂部相對壓強為負值，即出現真空。若其絕對壓強低于水的汽化壓強時，水將汽化，形成許多氣泡，這種現象稱空化有可能使壁面遭到空蝕，所以應控制虹吸管頂高，防止形成過大的真空。

【 例 6-3-3 】 一離心式水泵（圖 6-3-12 ）的抽水量 q = 20m³ ／ h 安裝高度 h_s= 5.5m ，吸水管管徑 d = 100mm ，吸水管總的水頭損失 h_w = 0. 25m （水柱），試求水泵進口處的真空值 p_v  。

【 解 】 水流自 1 一 1 斷面向下流至吸水管進口，然后沿吸水管流人水泵，我們討論的就是這一段總流。

取水池水面為 1 一 l 斷面，水泵進口斷面為 2 一 2 斷面，它們的計算點分別取在水池的自由液面與管軸上，將基準面 0 一 0選在水池的自由表面上，因水池面遠大于管截面，故認為 v_l = 0 。取 a₂ = 1.0 。寫能量方程，方程兩邊 p 按絕對壓強計算：

 

六、恒定總流動量方程

由理論力學可知，質點系動量對時間的變化率 d／ dt 等于作用于該質點系的所有外力的矢量和。即

為了將此動量定理應用到恒定總流中，我們取圖 6-3-13 所示的一段總流作為控制體。它是由斷面 l 一 1 , 2 一 2 及兩斷面間的流體邊界面所組成的控制面（封閉曲面）圍成的。控制體內流體受到質量力。在控制面上有表面力的作用。由于是恒定流，控制體的形狀并不隨時間而變。經過 dt 時間，控制體運動到  一  的位置。 dt 時間內控制體內流體的動量變化為:

式中為 dt 時間內自 2 一 2 斷面流出控制體的動量．為 dt 時間內自 1 一 l 斷面流入控制體的動量。這樣就將 dt 時間內控制體內的動量變化變成 dt 時間內由控制體流出的動量與流人的動量差。

設我們所取的斷面 1 一 l , 2 一 2 為漸變流動斷面，斷面上各點速度方向大致相同，這樣求總流斷面上流人或流出動量時可以將相應元流的動量積分，得到如下式

式中β為動量修正系數它定義為實際動量和按平均流速計算的動量的比值，即

β=

它的大小由斷面上流速分布的不均勻程度所決定。其實驗值為 1.02 一1.05 。工程上一般取β= l.0已能滿足精度要求。

式（ 6 -3-16 ）即為不可壓縮流體恒定總流動量方程。為便于計算，寫作投影式:

式中∑f_x ，∑f_y，∑f_z為作用于控制體的所有外力的矢量和在相應坐標軸上的投影. 或者說是作用于控制體的各外力在相應坐標軸上投影之代數和。v_2x，v_2y，v_2z為出口斷面平均流速在相應坐標軸上的投影； v_1x 、v_1y、v_1z為進口斷面平均流速在相應坐標軸上的投影。

【 例 6-3-4 】 管路中一水平放置的等截面輸水彎管，直徑 d 為 200mm ，彎角為   45°（圖 6-3-14 ) ，管中 l 一 1 斷面平均流速v₁為4m / s ，其形心處相對壓強p₁為 l 個大氣壓，若不計管流的水頭損失，求水流對彎管的作用力 r_x 與 r_y .