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第三章   參數(shù)估計(jì)

重點(diǎn)：

1.總體參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量

2.樣本均值與樣本比例及其標(biāo)準(zhǔn)誤差

 難點(diǎn)：

1.區(qū)間估計(jì)

2.樣本量的確定

知識(shí)點(diǎn)一：總體分布與總體參數(shù)

統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)的方法包括：描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)（第一章）

推斷統(tǒng)計(jì)是研究如何利用樣本數(shù)據(jù)來(lái)推 斷總體特征的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，包括參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩大類。

總體分布是總體中所有觀測(cè)值所形成的分布。

總體參數(shù)是對(duì)總體特征的某個(gè)概括性的度量。通常有

總體平均數(shù)（ μ）    

總體方差（σ² ）

總體比例（ π）

知識(shí)點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布

總體參數(shù)是未知的，但可以利用樣本信息來(lái)推斷。

統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的用于推斷總體的某些量，是對(duì)樣本特征的某個(gè)概括性度量。

統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，如樣本均值（）、樣本方差（ s²）、樣本比例（p）等。

構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中不能包括未知因素。

由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，樣本具有隨機(jī)性，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量也就是隨機(jī)的。統(tǒng)計(jì)量的取值是依據(jù)樣本而變化的，不同的樣本可以計(jì)算出不同的統(tǒng)計(jì)量值。

[例題·單選題]以下為總體參數(shù)的是(     )

  a．樣本均值b．樣本方差

  c．樣本比例d．總體均值

答案：d

解析：總體參數(shù)是對(duì)總體特征的某個(gè)概括性的度量。通常有總體平均數(shù)、總體方差、總體比

例題·判斷題：統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)。

答案：正確

解析：統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，如樣本均值（）、樣本方差（）、樣本比例（p）等。構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中不能包括未知因素。

 [例題·判斷題]在抽樣推斷中，作為推斷對(duì)象的總體和作為觀察對(duì)象的樣本都是確定的、唯一的。

答案：錯(cuò)誤

解析：作為推斷對(duì)象的總體是唯一的，但作為觀察對(duì)象的樣本不是唯一的，不同的樣本可以計(jì)算出不同的統(tǒng)計(jì)量值。。

（一）樣本均值的抽樣分布

設(shè)總體共有n個(gè)元素，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，在重置抽樣時(shí)，共有nⁿ 種抽法，即可以組成nⁿ不同的樣本，在不重復(fù)抽樣時(shí)，共有 個(gè)可能的樣本。每一個(gè)樣本都可以計(jì)算出一個(gè)均值，這些所有可能的抽樣均值形成的分布就是樣本均值的分布。

但現(xiàn)實(shí)中不可能將所有的樣本都抽取出來(lái)，因此，樣本均值的概率分布實(shí)際上是一種理論分布。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)定理已經(jīng)證明：

      即樣本均值的均值就是總體均值。

在重置抽樣時(shí)，樣本均值的方差為總體方的1/n，即   

在不重置抽樣時(shí)，樣本均值的方差為

其中，為修正系數(shù)，對(duì)于無(wú)限總體進(jìn)行不重置抽樣時(shí)，可以按照重置抽樣計(jì)算，當(dāng)總體為有限總體，n比較大而n/n≥5% 時(shí)，修正系數(shù)可以簡(jiǎn)化為1-n/n，當(dāng)n比較大，而n/n<5%時(shí)，修正系數(shù)可以近似為1，即可以按重置抽樣計(jì)算。

當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，樣本均值一定服從正態(tài)分布，即有x~n(,)時(shí)，~n(,)

若總體為未知的非正態(tài)分布時(shí)，只要樣本容量 n足夠大（通常要求n ≥30）,樣本均值仍會(huì)接近正態(tài)分布。樣本分布的期望值為總體均值，樣本方差為總體方差的1/n 。這就是統(tǒng)計(jì)上著名的中心極限定理。

該定理可以表述為：從均值為,方差為的總體中，抽取樣本量為n的隨機(jī)樣本，當(dāng)n充分大時(shí)（通常要求n ≥30），樣本均值的分布近似服從均值為,方差為的正態(tài)分布。

如果總體不是正態(tài)分布，當(dāng)n為小樣本時(shí)（通常n<30）,樣本均值的分布則不服從正態(tài)分布。

[例題·單選題]設(shè)一個(gè)總體共有5個(gè)元素，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為2的樣本，在重置抽樣時(shí)，共有(    )個(gè)樣本

     a.25             b.10       c.5              d.1

答案：a

解析：在重置抽樣時(shí)，共有nⁿ 種抽法，共有樣本nⁿ個(gè)，即5²=5×5=25個(gè)。

 [例題·單選題]設(shè)一個(gè)總體共有5個(gè)元素，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為2的樣本，在不重置抽樣時(shí)，共有(    )個(gè)樣本

    a．25    b．10

    c．5    d．1

答案：b

解析：在不重復(fù)抽樣時(shí)，共有個(gè)可能的樣本。即（個(gè)）

（二）樣本比例的抽樣分布

比例是指具有某種屬性的單位占全部單位數(shù)的比重。

總體比例（通常用 π表示）是總體中具有某種屬性的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比例，是一個(gè)參數(shù)，通常是未知的，也是我們想通過(guò)抽樣得到的說(shuō)明總體特征的數(shù)據(jù)。

樣本比例（通常用p表示）是隨機(jī)抽取的樣本中具有某種屬性的單位數(shù)占樣本全部單位數(shù)的比例，是一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量，是隨機(jī)變量，對(duì)于一個(gè)已經(jīng)抽取出來(lái)的樣本來(lái)講，是可以觀察到的。描述所有可能樣本比例的概率分布就是樣本比例的抽樣分布。

當(dāng)樣本容量比較大時(shí)，樣本比例p近似服從正態(tài)分布，且有p的數(shù)學(xué)期望就是總體比率π ，即σ(p)=π

而p的方差與抽樣方法有關(guān)，在重置抽樣下為，在不重置抽樣下為

即在重置抽樣時(shí)， p的分布為p~n(,)

在不重置抽樣時(shí)， p的分布為p~n(,)

一般講，當(dāng) np≥5,并n(1-p) ≥5時(shí)，就可以認(rèn)為樣本容量足夠大。對(duì)于無(wú)限總體進(jìn)行不重置抽樣時(shí)，可以按照重置抽樣計(jì)算，當(dāng)總體為有限總體，當(dāng)n比較大，而n/n ≤ 5%時(shí)，修正系數(shù) 會(huì)趨向1，這時(shí)也可以按重置抽樣計(jì)算方差。

從上述分析可以看出，隨著樣本容量的增大，樣本比例的方差愈來(lái)愈小，說(shuō)明樣本比例隨樣本容量增大，圍繞總體比例分布的峰度愈來(lái)愈高。

[例題·單選題]當(dāng)樣本容量比較大時(shí)，在重置抽樣條件下，樣本比例p的方差為(   )

a.     b.     c.    d.

答案：a

解析：當(dāng)樣本容量比較大時(shí)，在重置抽樣條件下，樣本比例p的方差為

 [例題·單選題]設(shè)一個(gè)總體含有3個(gè)可能元素，取值分別為1，2，3。從該總體中采取重復(fù)抽樣方法抽取樣本量為2的所有可能樣本，樣本均值為2的概率值是(    )

a．1/9     b．2/9     c．1/3     d． 4/9     

答案：c

解析：在重復(fù)抽樣下，樣本為1，2，3的概率都是1/3。

[例題·判斷題] 樣本容量是指從一個(gè)總體中可能抽取的樣本個(gè)數(shù)。

答案：錯(cuò)誤

解析：樣本容量是樣本中個(gè)體的數(shù)目。一個(gè)總體可以有多個(gè)樣本，各個(gè)樣本的的容量可以相同可以不同。

[例題·判斷題]在確定總體比例估計(jì)中的樣本容量時(shí)，如果缺少比例的方差，常取比例值為 0.5。

答案：正確

知識(shí)點(diǎn)三：統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差

統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，是指樣本統(tǒng)計(jì)量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量的離散程度。在參數(shù)估計(jì)中，它是用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間差距的一個(gè)重要尺度。

樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為：

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ未知時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替計(jì)算，這時(shí)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)誤差稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。

相應(yīng)地，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為

同樣，當(dāng)總體比例的方差π（1-π ）未知時(shí)，可用樣本比例的方差p(1-p)代替。

[例題·單選題] 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為(    )

a.  b.    c.    d.

答案：b

解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為

[例題·單選題]樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為(   )

a.    b.    c.    d.

答案：a

解析：樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為

[例題·單選題]統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，其大小與（）。

a. 樣本量的平方根成反比   b. 樣本量的大小成反比

c. 樣本量的大小成正比     d. 總體的標(biāo)準(zhǔn)差成反比

答案：a

解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為：，標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本量的平方根成反比。

[例題·多選題]在參數(shù)估計(jì)中統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差可用于（）

a.衡量樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差距    

b.衡量樣本統(tǒng)計(jì)量的離散程度  

c.衡量樣本統(tǒng)計(jì)量的集中程度      

d.衡量總體參數(shù)的離散程度   

e.衡量總體參數(shù)的集中程度。

答案：ab

解析：統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，是指樣本統(tǒng)計(jì)量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量的離散程度。在參數(shù)估計(jì)中，它是用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間差距的一個(gè)重要尺度。