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第二節(jié)  參數(shù)估計(jì)

知識(shí)點(diǎn)一：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

參數(shù)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)。

比如，用樣本均值估計(jì)總體均值μ 、用樣本比例 p 估計(jì)總體比例π、用樣本方差 s² 及估計(jì)總體方差σ² 等等

用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)有兩種方法：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)

一．點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)，是用樣本統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值來近似相應(yīng)的總體參數(shù)。

區(qū)間估計(jì)，是根據(jù)估計(jì)可靠程度的要求，利用隨機(jī)抽取的樣本的統(tǒng)計(jì)量確定能夠覆蓋總體參數(shù)的可能區(qū)間的一種估計(jì)方法。

區(qū)間估計(jì)是包括樣本統(tǒng)計(jì)量在內(nèi)（有時(shí)是以統(tǒng)計(jì)量為中心）的一個(gè)區(qū)間，該區(qū)間通常是由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差得到的。與點(diǎn)估計(jì)不同，進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，可以對(duì)統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為n（0，1）分布，將概率分布標(biāo)準(zhǔn)化的公式為：

將z所對(duì)應(yīng)的概率稱為置信度或置信水平，將表示的范圍稱為置信區(qū)間。

幾個(gè)概率下的置信區(qū)間：

以68.73%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù) 的置信區(qū)間為（z=1）

以95.45%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù) 的置信區(qū)間為(z=2)

以99.73%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù) 的置信區(qū)間為(z=3)

還有一個(gè)95%的概率度為z=1.96

[例題·單選題]以68. 27%的置信水平推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間為

答案：a

解析：68.27%的置信水平,其置信度為1，則置信區(qū)間為

知識(shí)點(diǎn)二：評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

用于估計(jì)總體參數(shù)的估計(jì)量可以有很多，如何選擇估計(jì)效果最好的那種估計(jì)量，評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞的標(biāo)準(zhǔn)具體有：

1.無偏性，是指估計(jì)量抽樣分布的期望值等于被估計(jì)的總體參數(shù)。

無偏估計(jì)量的定義。設(shè)總體參數(shù)為，所選擇的估計(jì)量為，如果e（）=，則稱 為 的無偏估計(jì)量。

分別是總體均值、總體比例、總體方差的無偏估計(jì)量。

2.有效性，是指估計(jì)量的方差盡可能小。

有效性是指估計(jì)量的方差盡可能小。對(duì)同一個(gè)總體參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，有更小方差的估計(jì)量更有效。

3.一致性，是指隨著樣本量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)總體的參數(shù)。

即大樣本給出的估計(jì)量要比一個(gè)小樣本給出的估計(jì)量更接近總體的參數(shù)。從這個(gè)意義上說，樣本均值是總體均值的一個(gè)一致估計(jì)量。

[例題·多選題]評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)為（    ）。

a．一致性             b．無偏性      c．顯著性   

d．有效性       e．綜合性

答案：abd

解析：評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)為：一致性、無偏性、有效性。

[例題·多選題]樣本均值是總體均值的（  ）

a.無偏估計(jì)量         b.一致估計(jì)量       c.有偏估計(jì)量

d.無效估計(jì)           e.近似估計(jì)量

答案：ab

解析：從無偏性和一致性來看，樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量  、一致估計(jì)量。

知識(shí)點(diǎn)三：一個(gè)總體均值的區(qū)間估計(jì)

在對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，需要考慮總體是否為正態(tài)分布、總體方差是否已知，用于估計(jì)的樣本是大樣本（n≥30）還是小樣本（n<30）等幾種情況。但不管哪種情況，總體均值的置信區(qū)間都是由樣本均值加減估計(jì)誤差得到的。

一般將置信水平表示為1- a ，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積各為 a /2的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的置信度（或可靠程度）。因此總體均值在1- a 置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為：

（分位數(shù)值× 的標(biāo)準(zhǔn)誤差，+分位數(shù)值× 的標(biāo)準(zhǔn)誤差）

（一）大樣本的估計(jì)

大樣本（n  ≥30）情況下，由前述可知樣本均值服從期望值為 μ 、方差為 σ² /n 的正態(tài)分布。因此當(dāng)總體方差 σ²    已知時(shí)，總體均值 μ  在1- a  置信水平下的置信區(qū)間為

式中：a    為事先確定的一個(gè)概率值，它是總體均值不包括在置信區(qū)間的概率 ； 1-a為置信水平；   z_α/2  為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上兩側(cè)面積各為 a /2時(shí)的z值；為估計(jì)誤差。

大樣本情況下，當(dāng)總體方差  σ² 未知時(shí)，上式中的  σ²     可以用樣本方差 s² 代替，總體均值  μ 在1-a置信水平下的置信區(qū)間為

[例題·單選題] 以95. 45%的置信水平推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間為

答案：b

解析：95.45%的置信水平，其置信度為2，則置信區(qū)間為

（二）小樣本的估計(jì)

小樣本（n<30）情況下，對(duì)總體均值的估計(jì)都是建立在總體服從正態(tài)分布的假定前提下。

（1）當(dāng)總體方差σ²   已知時(shí)，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)總體均值 在1-a置信水平下的置信區(qū)間仍為

（2）如果總體方差 σ² 未知時(shí)，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從自由度為（n-1）的t分布，即。t分布也是對(duì)稱分布，只不過計(jì)算出來的t值對(duì)應(yīng)的概率要查t分布概率表。總體均值 在1-a置信水平下的置信區(qū)間為

總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值和估計(jì)誤差兩部分組成的。

[例題·單選題]小樣本情況下，總體服從正態(tài)分布，總體方差已知，總體均值在置信水平

 

答案：a

解析：小樣本（n<30）情況下，當(dāng)總體方差 已知時(shí)，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)總體均值 在1-a置信水平下的置信區(qū)間仍為

[例題·單選題]小樣本情況下，總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，總體均值在置信水平

答案：a

解析：小樣本情況下，如果總體方差 未知時(shí)，總體均值在置信水平（1-a）下的置信區(qū)間為

知識(shí)點(diǎn)四：一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，經(jīng)常需要估計(jì)總體中具有某種屬性或特征的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比例。這時(shí)，我們就要用樣本比例p估計(jì)總體比例π

在大樣本條件下，根據(jù)中心極限定理，若np≥5，n(1-p) ≥5，則二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似，即

標(biāo)準(zhǔn)化后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

在大樣本（n  ≥30）情況下，當(dāng)總體比例π 已知時(shí)，在1-a 置信水平下，總體比例的置信區(qū)間為

在大樣本（n  ≥30）情況下，當(dāng)總體比例 未知時(shí)，需用樣本比率p代替，即

總體比例的置信區(qū)間是由樣本比例和估計(jì)誤差兩部分組成的。

[例題·判斷題]當(dāng)np≥5,并且n(1-p) ≥5時(shí),就可以認(rèn)為樣本容量足夠大，樣本比例近似服從正態(tài)分布。

答案：正確

解析：在大樣本條件下，根據(jù)中心極限定理，若np≥5，n(1-p) ≥5，則二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似。