第二章  數學應用
一、解答技巧
1、學習和掌握新題型
2、重點掌握新變化和基本理論知識
3、在掌握方程法的基礎上加強思維訓練
4、學會使用代入法和排除法
5、反復練習，提高做題速度

二、基本解題思路
1、方程的思路
2、代入與排除的思路
3、猜證結合的思路

三、常見題型和基本理論知識
1、數字計算
(1)直接補數法
概念：如果兩個數的和正好可以湊成整十、 
      整百、整千，稱這兩個數互為補數。
例題：計算274+135+326+265
解：原式=(274+326)+(135+265)
        =600+400=1000

(2)間接補數法
例題：計算1986+2381
解：原式=2000-14+2381
            =2000+2381-14
            =6381-14
            =6367
            (湊整去補法)

(3)相近的若干數求和
例題：計算
1997+2002+1999+2003+1991+2005
解：把2000作為基準數，
原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)
      =12000-3
      =11997

(4)乘法運算中的湊整法
基本的湊整算式：5x2=10，25x4=100，
              125x4=500，625x4=2500
例題：計算
(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)
解：原式=(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)
            =30.7/30.7
            =1

練習：計算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4.95
解：原式
     =0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95
     =4.95x25+4.95x24+4.95x51
     =4.95x(25-24+51)
     =4.95x100
     =495

(5)尾數計算法
概念：當四個答案完全不同時，可以采用為數計算法選擇出正確答案。
例題：99+1919+9999的個位數是()
         A.1    B.2    C.3    D.7
解析：答案各不相同，所以可采用尾數法。  
         9+9+9=27
答案：7，選D

練習：計算
(1.1)2+ (1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是：
A.5.04     B.5.49     C.6.06     D.6.30
解析：
(1.1)2的尾數為1，(1.2)2的尾數為4，
(1.3)2的尾數為9，(1.4)2的尾數為6，
所以最后和的尾數為1+3+9+6的和的尾數，即0
答案：D

(6)自然數n次方的尾數變化情況
例題：19991998的末位數字是()
解析：9n的尾數是以2為周期進行變化的，
         分別為9，1，9，1，……
答案：1

2n的尾數變化是以4為周期變化的，
    分別為2，4，8，6
3n的尾數變化是以4為周期變化的，
    分別為3，9，7，1
7n的尾數變化是以4為周期變化的，
    分別為7，9，3，1
8n的尾數變化是以4為周期變化的，
    分別為8，4，2，6
4n的尾數變化是以2為周期變化的，分別為4，6
9n的尾數變化是以2為周期變化的，分別為9，1
5n、6n尾數不變

練習：19881989+19891988的個位數是
解析：19881989的尾數是由81989的尾數確定的，1989/4=497余1，所以81989的尾數和81的尾數是相同的，即為8；
        19891988的尾數是由91988的尾數確定的，1988/2=994余0，所以91988的尾數和92的尾數是相同的，即為1。
答案：8+1=9

(7)提取公因式法
例題：計算1235x6788-1234x6789
解：
原式=1235x6788-1234x6788-1234
      =6788x(1235-1234)-1234
      =6788-1234
      =5554

練習：計算999999x777778+333333x666666
解一：原式
=333333x3x777778+333333x666666
=333333x(3x777778+666666)
=333333x(2333334+666666)
=333333x3000000
=999999000000

解二：原式
        =999999x777778+333333x3x222222
        =999999x777778+999999x222222
        =999999x(777778+222222)
        =999999x1000000
        =999999000000
解一和解二在公因式的選擇上有所不同，
導致計算的簡便程度不相同

(8)因式分解
例題：
計算2002x20032003-2003x20022002
解析：20032003=2003x10001；
         20022002=2002x10001
原式=2002x2003x10001-
        2003x2002x10001
      =0

(9)代換的方法
例題：計算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)
解：設A=0.23+0.34，
         B=0.23+0.34+0.65
原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65

練習：已知X=1/49，Y=1/7，
計算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)+2Y2
解：根據已知條件X=1/49，Y=1/7，
      可進行X=Y2的代換
原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X
      =7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X
      =5X
      =5/49

(10)利用公式法計算
例題：計算782+222+2x78x22
解：核心公式：
      完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2
      原式=(78+22)2
                  =10000

其它核心公式：
平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)
立方和公式：a3+b3=a2-ab+b2
立方差公式：a3-b3=a2+ab+b2
完全立方公式：
      (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

練習：計算

解析：核心公式                 ，d=6

原式

2、比較大小
(1)作差法：
對任意兩數a、b，如果a-b﹥0則a﹥b；
如果a-b﹤0則a﹤b；如果a-b=0則a=b。

(2)作比法：
當a、b為任意兩正數時，如果a/b﹥1則a﹥b；
如果a/b﹤1則a﹤b；如果a/b=1則a=b。
當a、b為任意兩負數時，如果a/b﹥1則a﹤b；
如果a/b﹤1則a﹥b；如果a/b=1則a=b。

例題：比較大小

解析：

答案：a﹤b

(3)中間值法：
對任意兩數a、b，
當很難直接用作差法和作比法比較大小時，
通常選取中間值c，
如果a﹥c而c﹥b，
則a﹥b。

例題：分數               中最大的一個是
解析：取中間值  和原式的各個分數
         進行比較，可以發現

         除了    比  大，其余分數都比  小
答案：    最大

3、比例問題
(1)和誰比
(2)增加或減少多少
(3)運用方程法或代入法

例題：b比增加了20%，則b是a的多少？
         a又是b的多少？
解析：列方程a(1+20%)=b，
         所以b是a的1.2倍
                     ，
         所以a是b的

練習：魚塘里養了一批魚，第一次捕上來
         200條，做好標記后放回魚塘，數日
         后再捕上100條，發現有標記的魚有
         5條，問魚塘里大約有多少條魚？
解析：方程法，設魚塘里有x條魚，
        100/5=x/200，x=4000
答案：魚塘里大約有4000條魚。

4、工程問題
(1)關鍵概念：
工作量、工作效率、工作效率的單位
(2)關鍵關系式：
工作量=工作效率x工作時間
總工作量=各分工作量之和

例題：一項工作，甲單獨做10天完成，乙單
         獨做15天完成，問兩人合作3天完成
         工作的幾分之幾？
解析：設工作量為1，甲的工作效率為1

（責任編輯：gx）

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