2012年吉林公務員《行測》數學運算題型講解(1)

　　1.由于工程問題解題中遇到的不是具體數量，與學生的習慣性思維相逆，同學們往往感到很抽象，不易理解。

　　2.比較難的工程問題，其數量關系一般很隱蔽，工作過程也較為復雜，往往會出現多人多次參與工作的情況，數量關系難以梳理清晰。

　　3.一些較復雜的分數應用題、流水問題、工資分配、周期問題等，其實質也是工程問題，但同學們易受其表面特征所迷惑，難以清晰分析、理解其本質結構特征是工程問題，從而未按工程問題思路解答，誤入歧途。

　　工程問題是從分率的角度研究工作總量、工作時間和工作效率三個量之間的關系，它們有如下關系：工作效率×工作時間=工作總量;工作總量÷工作效率=工作時間;工作總量÷工作時間=工作效率。那我們應該怎樣分析工程問題呢?

　　1.深刻理解、正確分析相關概念。

　　對于工程問題，要深刻理解工作總量、工作時間、工作效率，簡稱工總、工時、工效。通常工作總量的具體數值是無關緊要的，一般利用它不變的特點，把它看作單位“1”;工作時間是指完成工作總量所需的時間;工作效率是指單位時間內完成的工作量，即用單位時間內完成工作總量的幾分之一或幾分之幾來表示工作效率。

　　分析工程問題數量關系時，運用畫示意圖、線段圖等方法，正確分析、弄請題目中哪個量是工作總量、工作時間和工作效率。

　　2.抓住基本數量關系。

　　解題時，要抓住工程問題的基本數量關系：工作總量=工作效率×工作時間，靈活地運用這一數量關系提高解題能力。這是解工程問題的核心數量關系。

　　3.以工作效率為突破口。

　　工作效率是解答工程問題的要點，解題時往往要求出一個人一天(或一個小時)的工作量，即工作效率(修路的長度、加工的零件數等)。如果能直接求出工作效率，再解答其他問題就較容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔細分析單獨或合作的情況，想方設法求出單獨做的工作效率或合作的工作效率。

　　工程問題中常出現單獨做、幾人合作或輪流做的情況，分析時要梳理、理順工作過程，抓住完成工作的幾個過程或幾種變化，通過對應工作的每一階段的工作量、工作時間來確定單獨做或合作的工作效率。也常常將問題轉化為由甲(或乙)完成全部工程(工作)的情況，使問題得到解決

　　要抓住題目中總的工作時間比、工作效率比、工作量比，及抓住隱蔽的條件來確定工作效率，或者確定工作效率之間的關系。

　　總之，單獨的工作效率或合作的工作效率是解答工程問題的關鍵。

　　【例1】一件工作，甲單獨做12小時完成，乙單獨做9小時可以完成。如果按照甲先乙后的順序，每人每次1小時輪流進行，完成這件工作需要幾小時?

　　【解析】設這件工作為“1”，則甲、乙的工作效率分別是1/12和1/9。按照甲先乙后的順序，每人每次1小時輪流進行，甲、乙各工作1小時，完成這件工作的7/36，甲、乙這樣輪流進行了5次，即10小時后，完成了工作的35/36，還剩下這件工作的1/36，剩下的工作由甲來完成，還需要1/3小時，因此完成這件工作需要31/3小時。

　　【例2】一份稿件,甲、乙、丙三人單獨打各需20、24、30小時。現在三人合打，但甲因中途另有任務提前撤出，結果用12小時全部完成。那么，甲只打了幾小時?

　　【解析】設打這份稿件的總工作量是“1”，則甲、乙、丙三人的工作效率分別1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后，其實乙、丙二人始終在打這份稿件，乙、丙12小時打了這份稿件的9/10，還剩下稿件的1/10，這就是甲打的。所以，甲只打了2小時。

　　【例3】 一件工程，甲、乙合作6天可以完成。現在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙獨做又用8天正好 做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成?

　　【解析】甲、乙合作2天，甲2乙2，剩下應該是甲4乙4=乙8.則甲=乙，所以甲單獨完成需要12天。

　　【例4 】一個游泳池，甲管放滿水需6小時，甲、乙兩管同時放水，放滿需4小時。如果只用乙管放水，則放滿需：

　　A 8小時 B 10小時 C 12小時 D 14小時 (2001年A類真題)

　　【解析】：設游泳池放滿水的工作量為1，甲管放滿水需6小時，則甲每小時完成工作量的1/6甲、乙兩管同時放水，放滿需4小時，則甲乙共同注水，每小時可注游泳池的1/4，則乙每小時注水的量為1/4-1/6=1/12，則如果只用乙管放水，則放滿需12小時。

　　另法：甲乙同時放水需要4小時=甲4乙4=甲6 則乙=0.5甲，需要12小時。

　　【例5】 一個水池有兩個排水管甲和乙，一個進水管丙.若同時開放甲、丙兩管，20小時可將滿池水排空;若同時開放乙、丙兩水管，30小時可將滿池水排空，若單獨開丙管，60小時可將空池注滿.若同時打開甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿池水，需幾小時?

　　【解析】工程問題最好采用方程法。

　　由題可設甲X小時排空池水，乙Y小時排空池水，則可列方程組

　　1/X-1/60=1/20 解得X=15

　　1/Y-1/60=1/30 解得Y=20

　　則三個水管全部打開，則需要1÷(1/15+1/20-1/60)=10

　　所以，同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空需10小時。

　　【例6】 鋪設一條自來水管道，甲隊單獨鋪設8天可以完成，而乙隊每天可鋪設50米。如果甲、乙兩隊同時鋪設，4天可以完成全長的2/3，這條管道全長是多少米?

　　A 1000米 B 1100米 C 1200米 D 1300米 (2002年B類真題)

　　【解析】設乙需要X天完成這項工程，依題意可列方程

　　(1/8+1/X)×4=2/3

　　解得X=24

　　也即乙每天可完成總工程的1/24，也即50米，所以管道總長為1200米。

　　所以，正確答案為C。

　　另法：甲4天完成1/2，乙4天完成200米=1/6，全長1200米。

　　【例7】一項工程甲乙丙合作5天完成，現在三人合作2天后，甲調走，乙丙繼續合作5天后完工，問甲一人獨做需幾天完工?

　　【解析】三人合作2天完成2/5，剩余3/5需要乙丙5天，效率為3/25，則甲的效率為1/5-3/25=2/25，所以甲單獨做需要12.5天。

　　【例8】制作一批零件，甲車間要10天完成;茹果甲車間和乙車間一起做只要6天就能完成，乙車間和丙車間一起做需要8天。現在三個車間一起做，完成后發現甲比乙多做2400個。丙制作零件多少個?

　　【解析】效率比 甲：乙=3：2，則乙單獨需要15天，則乙：丙=8：7，則甲：乙：丙=12：8：7，假設丙做了7X個，則甲比乙多做4X=2400,7X=4200個。

　　【例9】蓄水池有甲丙兩條進水管和乙丁兩臺排水管。要注滿一池水，單開甲管要3小時，單開丙管要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，單開丁管要6小時。現知池內有1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的順序輪流各開一小時，問多少時間后，水開始溢出水池?

　　【解析】甲乙丙丁四條水管各開一個小時以后，也就是一個輪回，水池的水量是：

　　(1/3+1/5)-(1/4+1/6)=7/60;

　　當N個輪回結束，水池水量超過2/3時候，再單獨開甲就要有水溢出。

　　1/6+N*7/60=2/3 解得N=4.。。2，取N=5

　　1-1/6-5*7/60=1/4 需要3/4小時。則總時間為4*5+3/4=20又3/4

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2012年吉林公務員《行測》數學運算題型講解(2)

　　抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理(“如果有五個鴿子籠，養鴿人養了6只鴿子，那么當鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”)。它是德國數學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數學中一個重要的原理。

　　假設有3個蘋果放入2個抽屜中，則必然有一個抽屜中有2個蘋果，她的一般模型可以表述為：

　　第一抽屜原理：把(mn+1)個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至少有(m+1)個物體。

　　若把3個蘋果放入4個抽屜中，則必然有一個抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

　　第二抽屜原理：把(mn-1)個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有(m—1)個物體。

　　制造抽屜是運用原則的一大關鍵

　　例1、一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的?

　　A.12

　　B.13

　　C.15

　　D.16

　　【解析】根據抽屜原理，當每次取出4張牌時，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當取出12張牌時，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當抽取第13張牌時，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。

　　例2、從1、2、3、4……、12這12個自然數中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數，他們的差是7?

　　A.7　　　　B.10　　　　　C.9　　　　D.8

　　【解析】在這12個自然數中，差是7的自然樹有以下5對：{12，5｝{11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝。另外，還有2個不能配對的數是{6｝{7｝。可構造抽屜原理，共構造了7個抽屜。只要有兩個數是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為{12，5｝ {11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝{6｝{7｝，顯然從7個抽屜中取8個數，則一定可以使有兩個數字來源于同一個抽屜，也即作差為7，所以選擇D。

　　例3、有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應至少摸出幾粒?()

　　A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

　　【解析】這是一道典型的抽屜原理，只不過比上面舉的例子復雜一些，仔細分析其實并不難。解這種題時，要從最壞的情況考慮，所謂的最不利原則，假定摸出的前4粒都不同色，則再摸出的1粒(第5粒)一定可以保證可以和前面中的一粒同色。因此選C。

　　傳統的解抽屜原理的方法是找兩個關鍵詞，“保證”和“最少”。

　　保證：5粒可以保證始終有兩粒同色，如少于5粒(比如4粒)，我們取紅、黃、藍、白各一個，就不能“保證”，所以“保證”指的是要一定沒有意外。

　　最小：不能取大于5的，如為6，那么5也能“保證”，就為5。

　　例4、從一副完整的撲克牌中至少抽出( )張牌.才能保證至少 6 張牌的花色相同。

　　A. 21

　　B. 22

　　C. 23

　　D. 24

　　解析：2+5*4+1=23

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2012年河南公務員《行測》數學運算題型講解(3)

　　數學運算主要考查應試者解決算術問題的能力。在這種題型中，每道試題中呈現一道算術式子，或者是表述數字關系的一段文字，要求考生迅速、準確地計算出答案。在解答此類試題時，關鍵在于找捷徑和簡便方法。由于運算只涉及加、減、乘、除四則運算，比較簡單，如果有足夠的時間給每一位考生的話，大家幾乎都能打高分甚至是滿分。但公務員考試行測的一大特點就是題量大時間緊，在這種情況下，個體的差異就體現在運算的速度與準確性上，只有通過巧用計算方法提高運算速度才能在考試中獲得優勢。

　　數學運算的簡便解題方法有很多，如數學公式運算法、湊整計算法、基準數法、提取公因式法等等，根據常考的試題，還總結出一些專題，比如年齡問題、植樹問題、行程問題等等，每一類題也有各自不一樣的解法，我們會一一給大家講解，今天，我們主要來講一講年齡問題的解題方法。

　　求解年齡問題的關鍵是“年齡差不變”。

　　幾年前的年齡差和幾年后的年齡差是相等的，即變化前的年齡差=變化后的年齡差。解題時將年齡的其他關系代入上述等式即可求解。

　　已知兩個人或若干個人的年齡，求他們年齡之間的某種數量關系等等。年齡問題又往往是和倍、差倍、和差等問題的綜合。它有一定的難度，因此解題時需抓住其特點。

　　年齡問題的主要特點是：大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數卻年年不同。我們可以抓住差不變這個特點，再根據大小年齡之間的倍數關系與年齡之和等條件，解答這類應用題。

　　解答年齡問題的一般方法是：

　　幾年后年齡=大小年齡差÷倍數差-小年齡，

　　幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數差。

　　這里介紹幾道例題，幫助大家掌握年齡問題的解題方法：

　　【例題1】今年哥弟兩人的歲數加起來是55歲，曾經有一年，哥哥的歲數是今年弟弟的歲數，那時哥哥的素數恰好是弟弟的兩倍，問哥哥今年年齡是多大?( )

　　A.33 B.22 C.11 D.44

　　【答案及解析】A 設今年哥哥X歲，則今年弟弟是55-X歲，過去某年哥哥歲數是55-X歲，那是在X-(55-X)即2X-55年前，當時弟弟歲數是(55-X)-(2X-55)即110-3X。列方程為 55-X=2(110-3X)

　　55-X=220-6X

　　6X- X=220-55

　　5X=165

　　X=33

　　【例題2】爸爸、哥哥、妹妹現在的年齡和是64歲。當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲;當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲。現在爸爸的年齡是多少歲?()

　　A.34 B.39 C.40 D.42

　　【答案及解析】C。

　　解法一：用代入法逐項代入驗證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設爸爸、哥哥和妹妹的現在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。

　　【例題3】1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?( )

　　A.34歲，12歲 B.32歲，8歲 C.36歲，12歲 D.34歲，10歲

　　【答案及解析】D。

　　這是一道年齡問題，最重要的是掌握“年齡差不變”這一知識點。

　　假設甲乙兩人2000年的年齡分別是x、y歲，那么1998年他們就分別是(x-2)歲、(y-2)歲，2002年分別是(x+2)歲、(y+2)歲，根據題意可以列方程：

　　(x+2)=(y+2)×3，

　　(x-2)=(y-2)×4，

　　得出：x=34，y=10

　　所以甲乙二人2000年的年齡分別是34歲和10歲。

　　【例題4】10年前田靶的年齡是她女兒的7倍，15年后田靶的年齡是她女兒的2倍，問女兒現在的年齡是多少歲?()

　　A.45 B.15 C.30 D.10

　　【答案及解析】B 15年后田靶的年齡是女兒的2倍，即兩人年齡的差等于女兒當時的年齡，所以，兩人年齡的差等于女兒10年前的年齡加25。

　　10年前田靶年齡是女兒的7倍，所以兩人年齡的差等于女兒當時年齡的6(=7-1)倍。

　　由于年齡的差是不變的，所以女兒10年前的年齡的5(=6-1)倍等于25，女兒當時的年齡為：25/5=5(歲)。

　　現在為：5+10=15(歲)

　　故B項是正確選項

　　通過上面幾道例題，我們了解了年齡問題的基本特點，以及年齡問題的一些解題方法。

　　其實數學運算的考查點并非在于應試者的知識積累，而在于應試者的反應速度及應變能力。因此數學運算的題目并非是要求應試者用復雜的數學公式來進行運算(盡管能最終算出結果)，而是要求應試者根據題目所給條件，巧妙運用簡便的方法來進行解答。今天給大家介紹了年齡問題的解題方法，這也是數學運算中一種比較常見的題型，希望大家能掌握其中的要點，做到靈活運用。其他的解題方法在以后我們還會一一介紹，建議大家在學習解題方法的同時，也要注意基礎知識的積累，多做練習，把各種解題方法運用得爐火純青。

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2012年吉林公務員《行測》數學運算題型講解(4)

　　例：四人進行籃球傳接球練習，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有多少種傳球方式?

　　A.60種　　B.65種　　C.70種　　D.75種

　　【解析一】五次傳球傳回甲，中間將經過四個人，將其分為兩類：

　　第一類：傳球的過程中不經過甲，甲→___→___→___→___→甲___→甲，共有方法3×2×2×2=24種

　　第二類：傳球的過程中經過甲，

　　①甲→___→___→甲→___→甲，共有方法3×2×1×3=18種

　　②甲→___→甲→___→___→甲，共有方法3×1×3×2=18種

　　根據加法原理：共有不同的傳球方式24+18+18=60種

　　【解析二】注意到：N次傳球，所有可能的傳法總數為3(每次傳球有3種方法)，第N次傳回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。

第N次傳球	傳球的方法	球在甲手中的傳球方法	球不在甲手中的傳球方
1	3	0	3
2	9	3	6
3	27	6	21
4	81	21	60
5	243	60	183

　　從表中可知，經過5次傳球后，球仍回甲手的方法共有60種，故選A項。

　　【解析三】我們很容易算出來，四個人傳五次球一共有35=243種傳法，由于一共有4個人，所以平均傳給每一個人的傳法是243÷4=60.75，最接近的就是60，選擇A。

　　傳球問題核心注釋

　　這道傳球問題是一道非常復雜麻煩的排列組合問題。【解析一】是最直觀、最容易理解的，但耗時耗力并且容易錯，稍微應運數字計算量可能陡增;【解析二】操作性強，可以解決這種類型的種問題，但理解起來要求比較高，具體考場之上也比較耗時;【解析二】不免投機取巧，但最有效果(根據對稱性很容易判斷結果應該是3的倍數，如果答案只有一個3的倍數，便能快速得到答案)，也給了一個啟發—

　　傳球問題核心公式

　　N個人傳M次球，記X=(N-1)M/N，則與X最接近的整數為傳給“非自己的某人”的方法數，與X第二接近的整數便是傳給自己的方法數。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。

　　比如說上例之中，X=(4-1)5、4=60.75，最接近的整數是61，第二接近的整數是60，所以傳回甲自己的方法數為60種，而傳給乙(或者丙、丁)的方法數為61。

　　題：某人去A、B、C、D、E五個城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市，如果他今天在某個城市，那么第二天肯定會離開這個城市去另外一個城市，那么他一共有多少種旅游行程安排的方式?

　　A.204　　B.205　　C.819　　D.820

　　【答案】C。相當于五個人傳六次球，根據“傳球問題核心公式”，X=(5-1)6/5=819.2，與之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市則有820種方法，去另外一個城市則有819種方法。

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（責任編輯：中大編輯）